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Folgend wird die Grenzrate der Substitution näher thematisiert, z.B. $ \frac {dN}{dK}$.
Rechenbeispiel Grenzrate der Substitution
Beispiel
a) Zu berechnen ist die Grenzrate der Substitution $ \frac {dN}{dK}$ an der Stelle $N = 4$, $K = 9$.
b) Was wird damit ausgesagt?
Zu berechnen ist die Grenzrate wie folgt:
Expertentipp
1. Setze den Output konstant.
2. Löse nach N bzw. einer der beiden Variablen auf.
3. Leite nach K ab.
4. Setze die gewünschte Stelle ein.
Zu rechnen ist $N = \frac {Y²}{K}$. Nach K abgeleitet wird $ \frac {dN}{dK} = -\frac {Y²}{K²} $.
Beim Einsetzen von Y erhält man $\frac {dN}{dK}=-\frac{(N^{0,5}*K^{0,5})²}{K²}=- \frac {-N*K}{K²}=- \frac {N}{K}$.
An der Stelle $(N,K) = (4,9)$ erhält man demnach $ \frac {dN}{dK} = \frac {-4}{9} = -0,4444$.
Merke
Proberechnung zur Bestätigung der Lösungsinterpretation
Die Behauptung wird zur Kontrolle nachgerechnen: Der Output liegt in der Situation.
$(N,K) = (4,9)$ bei $ Y = 4^{0,5}* 9^{0,5}= 2 · 3 = 6$.
Wird nun vom Kapital eine ME weniger eingesetzt und $0,44 ME$ zusätzlich von $N$, dann liegt der Output bei $ Y =\frac{ N^{0,5}}{K^{0,5}}= Y = 4,44^{0,5}* 8^{0,5}= 5,9628$.
Dies ergibt ungefähr 6.
