Die Berechnung von Einkommens- und Substitutionseffekt

Nachdem die ungefähre Vorgehensweise grafisch dargestellt wurde, geht es hier um die praktische Berechnung. Substitutionseffekt, Einkommenseffekt sowie der Gesamteffekt werden in den folgenden fünf Rechenschritten anhand eines Beispiels bestimmt.

Berechnen des ursprünglich optimalen Güterbündels - 1. Schritt

Dies überspringen wir hier mal, denn der Weg ist ja bereits dargestellt worden. Zur weiteren Übung sollte es allerdings selbständig gerechnet werden. Das Ergebnis lautet: $\ (x_1*;\ x_2*)=(20;\ 10) $.

Einkommensänderung ausrechnen - 2. Schritt

Da der Preis von Gut 1 gestiegen ist, steht der Verbraucher schlechter da als vorher. Da er aber genauso gut dastehen muss wie vorher, muss ihm zusätzliches Geld gegeben werden. Umgekehrt wäre es natürlich, wenn der Preis gesunken wäre.

Wieviel genau muss dem Verbraucher gegeben werden?
Dazu eine einfache Überlegung: Die ursprüngliche Budgetgerade lautete $\ 40=1x_1 + 2 x_2 $; die von uns gesuchte Budgetgerade mit dem geänderten Einkommen lautet: $\ m´=2x_1 + 2x_2 $ (m´ bezeichnet das gesuchte Einkommen). Um zu der Änderung des Einkommens zu kommen, bestimmen wir die Differenz dieser beiden Gleichungen und zwar ziehen wir die erste Budgetgerade von der zweiten ab. $$\ \begin{align} & m´-40=(2x_1+2x_2)-(x_1+2x_2) \\ & m´-40=2x_1+2x_2-x_1-2x_2 \\ & m´-40=x_1 \\ & m´=x_1+40 \end{align} $$ Für $\ x_1 $ wird nun das $\ x_1 $ aus dem optimalen Güterbündel eingesetzt und mit dem Preis multipliziert, der hier aber 1 beträgt. Dies geht, da wir ja dem Konsumenten gerade ermöglichen, sein altes Bündel kaufen zu können.
$$\ m´=1 \cdot 20+40=60 $$ 60 ist hier das kompensierte Einkommen. Der Rechenweg ist allerdings etwas umständlich. Einfacher ist folgende Formel: $\ m´-m=(p´i - p_i) \cdot x_i $.
$\ x_i $ gibt das Gut i an, bei dem sich der Preis geändert hat.
Hätten wir die vorhergehende Rechnung allgemein, also ohne Zahlenwerte gerechnet, wären wir ebenfalls auf diese Formel gekommen. Sie besagt, dass die Änderung des Einkommens (linke Seite) sich aus der Differenz von neuem minus altem Preis mal der alten optimalen Konsummenge des Gutes errechnet.

Der Substitutionseffekt- 3. Schritt

Wir suchen das optimale Bündel des Verbrauchers unter folgenden Bedingungen: $$\ u(x_1;\ x_2)=x_1 \cdot x_2;\ m´=60; p´_1=2; p_2=2 $$ Das Ganze in etwas verkürzter Form: Bestimmen der MRS $$\ MU_1=x_2\ und\ MU_2=x_1 $$ $$\ MRS={MU_1 \over MU_2}={x_2 \over x_1} $$ Steigung der Budgetgeraden: $$\ {p_1 \over p_2}={2 \over 2}=1 $$ (Achtung: Dies ändert sich im Vergleich zur ersten Bestimmung des optimalen Güterbündels, die MRS bleibt gleich!)

Gleichsetzen: $$\ MRS={p_1 \over p_2};\ {x_2 \over x_1=1} \Leftrightarrow x_2=x_1 $$ Einsetzen in Budgetgeraden: $$\ 60=2x_1+2x_1 \Leftrightarrow 60=4x_1 \Leftrightarrow 15=x_1* \Rightarrow x_2*=15 $$ Der Substitutionseffekt beträgt: $$\ \Delta x_1^S=x´1*(p´_1; p_2; m´)-x_1*(p_1; p_2; m) \Leftrightarrow \Delta x_1^S=15-20=-5 $$ Der Konsument wird 5 Einheiten von Gut 1 weniger konsumieren. Dies ist der Substitutionseffekt.

Der Einkommenseffekt - 4. Schritt

Gesucht wird das optimale Bündel unter folgenden Bedingungen: $$\ u(x_1;\ x_2)=x_1 \cdot x_2;\ m=40;\ p´_1=2;\ p_2=2 $$ Da wieder nur ein optimales Güterbündel errechnet werden muss und sich zudem auch nur das Einkommen geändert hat, überspringen wir bei der Berechnung ein paar Schritt und gehen direkt über zum Einsetzen von $\ x_2=x_1 $ in die Budgetgerade: $\ 40=2x_1+2x_2 \Rightarrow 40=2x_1+2x_1 \Rightarrow 40=4x_1 \Rightarrow x_1*=10\ und\ x_2*=10 $.
Der Einkommenseffekt bestimmt sich aus der Differenz vom aktuellen Ergebnis und dem Ergebnis beim Substitutionseffekt, also $\ \Delta x_1^E=x_1(p´_1; p_2; m)-x_1(p´_1; p_2; m´): \Delta x_1^E=10-15=-5 $.

Der Gesamteffekt - 5. Schritt

Die gesamte Änderung der Nachfrage des Konsumenten nach dem Gut allein auf Grund der Preisänderung ergibt sich aus der Differenz von dem optimalen Güterbündel nach Preisänderung und dem vor der Preisänderung: $\ \Delta x_i=x_i(p´_i; m)-x_i(p_i; m) $. In unserem Fall wäre das: $\ \Delta x_1=10-20=-10 $.

Soweit die praktische Seite. Mit einigen Anmerkungen beschäftigen wir uns im nächsten Teil.