Machen wir uns das Vorgehen zum Herleiten des Gewinnmaximum an einem Beispiel deutlich. Dazu soll folgende Produktionsfunktion mit nur einem Inputfaktor gelten: $\ y = f(j) $
Die (etwas vereinfachte) Gewinnfunktion des Unternehmens lautet dann:
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$$\ G = U - K = p \cdot y - w \cdot j $$
Der erste Teil ($\ p \cdot y $) ist der Umsatz, mit "p" als Verkaufspreis und "y" als Produktionsmenge. Der zweite Teil ($\ w \cdot j $) sind die Kosten für die Produktion. "w" ist hier der Preis für den Produktionsfaktor "j". j selber gibt die notwendige eingesetzte Menge des Faktors an.
Formen wir diese Funktion nach "y" um, so erhalten wir: $\ y = {G \over p} + {w \over p} \cdot j $.
Diese Funktion hat eine positive Steigung ($\ w \over p $) und einen y-Achsenabschnitt von $\ G \over p $. Diese Kurve wird als Isogewinnlinie bezeichnet. Parallel zu den Isoquanten, gibt die Isogewinnlinie alle Kombinationen von Input und Output an, die einen bestimmten Gewinn erzielen.
Bringen wir die Produktionsfunktion und mehrere Isogewinnlinien in einer Grafik zusammen.
Das Ziel der Gewinnmaximierung sagt uns, wir sollen die Isogewinnlinie suchen, die am höchsten liegt. Das wäre hier die Nummer 1. Allerdings hat sie keinen Punkt mit der Produktionsfunktion gemeinsam. So ist das Unternehmen nicht in der Lage eine Menge herzustellen, die dieses Gewinnniveau erreicht. Dies ist nur bei Nummer 2 möglich. Beide Kurven haben einen Punkt gemeinsam. Damit haben wir wieder eine Tangentialbedingung.
Der weitere Weg sollte jetzt schon langsam klar werden. Es muss ein Punkt gesucht werden, an dem die Steigung der Isogewinnlinie mit der Steigung der Produktionsfunktion gleich ist. Die Steigung der Isogewinnlinie ist leicht abzulesen. In unserem Beispiel lautet sie "$\ w \over p $". Die Steigung der Produktionsfunktion erhalten wir über die erste Ableitung, also dem Grenzprodukt.
Formal also hier: $\ MP = {w \over p} $
Soweit das Ganze, wenn nur ein Faktor vorhanden ist. Die Aussage gilt aber auch analog zu zwei Faktoren. Hier sind beide gleichzeitig zu optimieren: $\ MP1 = {w_1 \over p} $ und $\ MP2 = {w_2 \over p} $.
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