Die mathematische Bestimmung bei perfekten Substituten

Wie können wir exakt mathematisch auf das optimale Güterbündel kommen?
Es ist meist relativ einfach, und mit dem Wissen über das Wie und etwas Übung, stellt das schon bald kein Problem mehr da. Die Berechnung des optimalen Güterbündels betrachten wir hier bei

• perfekten Substituten,
• perfekten Komplementen,
• einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion.

Optimales Güterbündel bei perfekten Substituten

Beginnen wir mit den perfekten Substituten:

Wir hatten vorher gesagt, dass im Optimum die Steigung der Budgetgeraden und der Indifferenzkurve gleich ist, folglich brauchen wir zum Einen die Steigung der Budgetgeraden und zum Anderen die Steigung der Indifferenzkurve, die wir über die MRS (= Grenzrate der Substitution) erhalten.
Um die MRS zu errechnen, leiten wir zuerst die Nutzenfunktion jeweils nach und ab. Das Ergebnis ist der jeweilige Grenznutzen, und . Die MRS erhalten wir, indem wir durch dividieren: Die Steigung der Budgetgeraden ist der Preis von Gut 1 durch den Preis von Gut 2: An dem Punkt, wo beide Steigungen gleich sind, befindet sich das optimale Konsumbündel. Allerdings sind beide Steigungen nicht gleich. Ein Problem? - Nein!
Denn in diesem Fall haben wir eine sogenannte Randlösung. Sehen wir uns dafür die folgende Grafik an:

Eingezeichnet sind die Budgetgerade und eine Indifferenzkurve. Die Indifferenzkurve ist so verschoben, dass nur ein Punkt mit der Budgetgerade gleich ist und dieser liegt in (50; 0). Folglich wird der Verbraucher nur das Gut 1 konsumieren, was auch logisch ist, denn Gut 1 ist billiger als Gut 2 und verschafft ihm noch dazu einen höheren Nutzen.