Gewinnmaximierung bei zwei variablen Faktoren

Das Beispiel bleibt hier das selbe wie bei der vorherigen Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor, allerdings ist nun der zweite Faktor ebenfalls variabel und damit nicht vorgegeben.

Sind beide Faktoren beeinflussbar, müssen sie simultan bestimmt werden, da die gewinnmaximale Einsatzmenge eines Faktors abhängig ist von der Einsatzmenge des anderen Faktors und umgekehrt. Also haben wir hier ein Zirkelproblem.

Zur mathematischen Bestimmung könnten wir wieder die Gewinnfunktion aufstellen, was wir aber überspringen. Hier gehen wir direkt zur Bestimmung der Grenzprodukte über.




Beim vorherigen Beispiel hatten wir festgehalten, dass ein Faktor im Optimum mit seinen Grenzkosten entlohnt wird. Dazu muss das Grenzprodukt mit dem Outputpreis bewertet werden um das Wertgrenzprodukt zu erhalten, was dann gleichgesetzt wird mit seinen Kosten [].
Der Preis des Outputs beträgt und die Kosten für die beiden Inputfaktoren und . Somit erhalten wir:


Der nächste Schritt ist die Bestimmung von und . Mit welcher Formel man arbeitet ist egal.

Bestimmung von aus
|:9
| oder
|quadrieren mit -4 (dem Kehrwert von -1/4)

Damit haben wir errechnet. Das gleiche Spiel nochmal mit .
|:4
| oder
|quadrieren mit 

Nachdem beide Faktoren bestimmt sind, kommt der finale Schritt. Mit einer der beiden Gleichungen wird in der anderen der jeweilige Faktor ersetzt.
Hier ersetzen wir mit das in .


|

|quadrieren mit -2

Mit dem Ergebnis für kann auch leicht errechnet werden, dazu einfach in einsetzen. Das Ergebnis hier lautet .
Ein anderer, aber umständlicherer, Weg wäre die Rechnung andersrum nochmal zu machen. Wird zur Übung allerdings empfohlen.