Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

Die Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor soll hier anhand eines Beispiels erklärt werden.

Da hier unser Ziel die Gewinnmaximierung ist, definieren wir zuerst die Gewinnfunktion, die anschließend maximiert wird.
Der Gewinn ist definiert als Umsatz minus Kosten: G = U-K
Ausführlicher entspricht dies Preis mal Absatzmenge (Umsatz) minus den Kosten für die benötigten Inputfaktoren.

"p" ist der Verkaufspreis für das Endprodukt. " " und "" sind die Kosten für die Inputfaktoren.

Setzen wir die gegebenen Informationen in die Zielfunktion ein:
Vereinfacht:
Unser fixer Faktor ist bereits vollständig aus der Gleichung herausgefallen. Da er nicht verändert werden kann, ist er für die Optimierung unwichtig.

Der nächste Schritt ist die Ableitung der Zielfunktion nach dem variabeln Inputfaktor:
=>
Die letzte Gleichung ist besonders wichtig. Ohne Zahlenwerte sähe sie so aus:
Da wir die Produktionsfunktion nach abgeleitet haben, haben wir das Grenzprodukt für 1 erhalten. Dieses Grenzprodukt, bewertet mit dem Preis, nennt man Wertgrenzprodukt. Es gibt an, wieviel zusätzlicher Umsatz mit einer weiteren Einheit von erreicht wird. Im Optimum, welches wir ja suchen, entspricht dieses Wertgrenzprodukt den Kosten einer zusätzlichen Einheit von .
Teilen wir die Funktion noch durch "p", erhalten wir die vorher bestimmte Optimalitätsbedingung:

Um für unser Beispiel die optimale Menge von zu errechnen, brauchen wir nur noch die Gleichung aufzulösen, da nur noch eine Unbekannte vorhanden ist.






Das Unternehmen maximiert seinen Gewinn, wenn es 81 Einheiten des Inputfaktors einsetzt.