Optimum bei S-förmiger Kostenkurve

Dass im Optimum der Preis gleich den Grenzkosten sein muss, war nur die erste Bedingung. Es gibt noch eine weitere.
Häufig haben Kostenverläufe in Unternehmen nämlich einen sogenannten "S"-förmigen Verlauf, wie in der folgenden Grafik zu sehen ist.

Zuerst steigen die Kosten sehr stark an, um dann auf einem "Plateau" nur sehr langsam zu steigen und schließlich wachsen sie wieder sehr schnell an.
Diese Form ergibt sich oft aus der Nutzung von Skalenerträgen, Fixkosten und den damit verbundenen Degressionseffekten bei höherer Stückzahl und natürlich dem Gesetz des abnehmenden Grenzproduktes.
Bei einem solchen Verlauf gibt es zwei Punkte auf der Kostenkurve, welche die selbe Steigung aufweisen, wie die Umsatzkurve. Jedoch ist nur einer davon der Optimale.
Um ihn zu finden, brauchen wir die zweite Ableitung der Zielfunktion.

Kostenkurve und Umsatzkurve

Hier ist noch mal die erste Ableitung:
Bei der zweiten Ableitung fällt p weg und übrig bleibt unser Term für die Grenzkosten. Die zweite Ableitung der Grenzkosten, sagt uns, ob wir steigende oder fallende Grenzkosten haben. Hier benötigen wir steigende Grenzkosten. Weshalb sehen wir gleich an der Grafik.
Um steigende Grenzkosten zu haben, muss die zweite Ableitung positiv sein: .

In der Graphik sind wieder die Umsatz- und die S-förmige Kostenkurve eingezeichnet. In den Punkten y1 und y2 weist die Kostenkurve die gleiche Steigung auf, wie die Umsatzkurve. Allerdings ist nur einer dieser Punkte das gesuchte Optimum.
Nach dem Punkt y1 sinken die Grenzkosten des Outputs, daher ist unsere Bedingung hier nicht erfüllt. Nach Punkt y2 steigen die Grenzkosten an, weshalb unser Optimum im Punkt y2 liegt.